乐学拼多多 2023-07-30 19:10:01

高数求证数列收敛和极限问题

易知 "an+1" = 根号(a+ “an")
下面证明数列是递增的：
只要证明：根号(a+ “an") > “an" 即：an平方 -an - a <0
求根得 1/2(√(1+an) +1)
当an< 1/2(√(1+an) +1) 时，显然 an^2 -an - a < 0
从而 "an+1" > an
然后证明其有界：
当an< 1/2(√(1+an) +1)时，
"an+1" = 根号(a+ “an") <根号(a+ 1/2(√(1+an) +1)) =1/2(√(1+an) +1)
所以 an有上界1/2(√(1+an) +1)
根据单调有界定理知，an收敛。
设极限为A
对"an+1" = 根号（a+ “an") 两边取n趋于无穷
得 A= 根号(a+A)
解得A=1/2(√(1+an) +1)

L = lim(n->∞) [ (2n)!/(n!n^n) ]^[1/(n+1)]
lnL
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(n+i)/n ] }
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(1 + i/n) }
=∫(0->1) ln(1+x) dx
=[ xln(1+x) ]|(0->1) -∫(0->1) x/(1+x) dx
=ln2 - ∫(0->1) [1- 1/(1+x)] dx
=ln2 - [ x- ln|1+x| ]|(0->1)
=ln2- ( 1- ln2)
=2ln2 -1
L = e^(2ln2-1)= 4e^(-1)
lim(n->∞) [ (2n)!/(n!n^n) ]^[1/(n+1)] = 4e^(-1)

1、求极限的时候，只有在积分项相乘并且其极限值为常数的时候才可以代入并提出去。你的第二个表达式，因为它是和式，所以只是分别在求极限而已，不能直接带成1。详细如图所示：

2、高数求极限方法：

定义法。此法一般用于极限的证明题，计算题很少用到，但仍应熟练掌握，不重视基础知识、基本概念的掌握对整个复习过程都是不利的。

洛必达法则。此法适用于解“0/0”型和“8/8”型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式、任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。

对数法。此法适用于指数函数的极限形式，指数越是复杂的函数，越能体现对数法在求极限中的简便性，计算到最后要注意代回以e为底，不能功亏一篑。

定积分法。此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。例如《2013无师自通考研数学复习大全》第26页末尾的一道题：极限

泰勒展开法。待求极限函数为分式，且用其他方法都不容易简化时使用此法会有意外收获。当然这要求考生能熟记一些常见初等函数的泰勒展开式且能快速判断题目是否适合用泰勒展开法，坚持平时多记多练，这都不是难事。

重要极限法。高数中的两个重要极限。（夹逼定理）此法较简单，就是对待求极限的函数进行一定的扩大和缩小，使扩大和缩小后的函数极限是易求的。。

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