复数和虚数

我们当时在上线性代数课的时候，线性代数老师跟我们说过一个对虚数很有意思的解释。

我顺着他的思路给大家讲一讲虚数的意思。

首先，我们要想理解i^2=-1到底是什么意思，我们就一定要先问自己下面的问题，什么是乘法？什么是-1？然后再去理解虚数i是什么。

我估计才说到这里，有很多人就感觉犯迷糊了，乘法就是乘法，-1就是一个数字，“什么是乘法？什么是-1？”，这是什么问题？好的，这就是数学的神奇之处了。

其实很多人对于数学的理解可能还是“算数”而不是“数学”。

所谓的算数，就是根据算法算出来你想要的数字，很直观、很容易理解，比如说1+1=2，你拿出来两个苹果，放在一起，数一下，啊，确实，一加一等于二。

但是数学却要抽象很多，远远不是用直观的思维可以去比喻的。

乘法是什么？不是说4*3=4+4+4=12——这种表达式只是为了算出来一个结果，而不是真正的数学。

正确的说，4这个数字，经过与3这个数字，发生一种叫做乘法的运算，得到了12这个结果。

那么以此类推，4*3*3的意思就是，4*3的结果与3这个数字再发生了一次叫做乘法的运算，并且会得到某一个结果。

而1这个数字，他确实是一个数字，代表了“一个”的意思，但是更多时候他表示的是一种关系，所以1有些时候不是单独存在的，而是要跟某些数字共同存在来表示他们之间的关系，比如说4/4=1，意思就是，4与4之间的关系可以用1来表示，当然，我们也知道，1的意思就是一样、本身，所以4/4=1或者4*1=4的意思是，4跟4是一样的。

那么4*（-1）=-4是什么意思呢？简单说，负号就是反过来，那么4*（-1）=-4与4/（-4）=-1的含义是一样的，意思就是4与-4之间的关系是-1，也就是-4是4的180°转弯。

最终，我们回到i^2=-1这个式子上来，再结合我们刚刚提到的乘法还有-1的含义，意思就是说，我们对任何一个数字做了连续两次i的运算，就可以得到这个数字的反过来的数字。

那么，这就很容易理解了，你开车时做了两个同样的动作之后，汽车转向了（转了180°），请问你做的这个动作是什么？答案是，转90°。

那么i^2=-1，就是说，i可以让任何一个数字转90°。

那么一个数字怎么转90°？这就要看数轴了，我们把每个数字看成一段有方向的线段，那么这个数字乘以i之后，就是逆时针转了90°，一下子转到数轴外了，不是数轴上的数字可以表示的了，所以我们说这是一个虚数。

再转90°，刚好又把数字转回数轴上了，然后我们又可以用实数来表示了，这也就是为什么4*i^2=-4的原因。

而我们不要纠结i这个数字在现实中存在不存在，因为这个数字只是一个变换，只是表示两个数之间的关系而已，既然是数学，什么关系不能有呢？对吧。

虚数与实数相对应，实数是一维空间存在，虚数就是数的二维存在形式，一维数的平方大于等于零，二维数的平方当然是二维数，可正可负可为零可为带i的虚数！三维空间数是什么