二阶导数大于零凹凸性

二阶导数大于零凹凸性 二阶导数大于零 原函数的凹凸性是什么

二阶导数大于零 原函数的凹凸性是凹的。

证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1<x2，记(x1+x2)/2=x0，并记x2-x0=x0-x1=h，则x1=x0-h,x2=x0+h。

由拉格朗日中值公式得f(x0+h)-f(x0)=f'(x0+θ1h)h,f(x0)-f(x0-h)=f'(x0-θ2h)h，其中0<θ1<1,0<θ2<1。

两式相减，得f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h。

对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f"(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ<x0+θ1h。

因为f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

扩展资料：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。

同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0。

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为免混淆，现在的数学教材一般采用比较形象的说法 “上凸” 和 “下凸”，而不用 “凹” 和 “凸”，所以你的二阶导数大于零的情况是为下凸。

二阶导数大于零，原函数的凹凸性是什么？二阶导数大于零，原函数的凹凸性是什么？

二阶导数大于零，原函数的凹凸性是凹的。

二阶导数大于0，说明该函数的一阶导数是单增函数。

也就是说，该函数在各点的切线斜率随着 x 的增大而增大。

因此，该函数图形是凹的。

二阶导数是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。

在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

二阶导数凹凸性：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。

同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0。

二阶导数大于零原函数的凹凸性是什么