虚数和复数

在数学中，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。

实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。

复数包含虚数，所以所有的虚数都是复数。

虚数没有正负可言，不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

复数集包含了实数集，因而是复数是实数的扩张。

题主你好。

虚数的引入其实是数学的必然。

我们知道，负数的引入是因为计数时，因为无法用正数表示小于0的数。

如果换一种说法，那就是如下的一元一次方程的根不能用正数描述：x+a=0，a>0。

很明显这个方程的根是x=-a<0，它只能是负数。

我们可以人为地去掉负根，认为负数是不存在的，这种做法不影响我们去计算x-a=0(a>0)的根。

如果我们不承认负数的存在，那么就没有虚数。

当我们承认负数是存在的，那么引入虚数就成了必然。

为什么这么说。

首先看一元二次方程x^2=-1，这个方程在实数范围内无解。

这一点毫无疑问。

但是为什么我们要推广实数，定义i^2=-1。

这和一元二次方程的关系不大，而是和一元三次方程有关。

对于一元三次方程的求根公式，又叫卡尔丹公式，这里会遇到对负数先开二次方，在对开方结果与其他实数的加减组合再开三次方。

但是如果不引入虚数和复数概念，这种计算是没有意义的。

不仅如此，许多一元三次方程都有三个实数根，但是求根公式里开三次方以后只能得到一个根。

后来数学家棣莫佛提出了复数开方公式，他证明一个复数的n次方根有可以有n个不同的复数。

这就解释了为什么一元三次方程的求根公式里开三次方能得到三个根。

但是这必须要在复数意义上才能进行，这位虚数的引入提供了最好的依据。

引入虚数，还有一个原因，这和微积分有关了。

举个例子，对于正弦函数，它满足如下的微分方程：y''(x)=-y(x)。

借助特征根法，可以得到这样的一元二次方程：λ^2=-1。

如果认为做这样的一元二次方程是无解的，但是它对应的二阶微分方程却是有解的（正弦函数），从而产生了矛盾。

这意味着只有扩充数域才能真正解释这个矛盾。

这就是引入虚数和复数的最直接的动机。

至于复数的定义与计算，在小编看来是极为平庸的事情，高中数学里都有详细介绍。

此外，复数的一些更高级的理论，可以阅读复分析等文献。

数学的发展绝大部分情况，都是由于数学家们的异想天开，或者突发奇想。

古今中外，都是如此，从古希腊到现在，除了最早的为了记数的需要，人类定义了自然数和最早的算术运算，其它数学概念，几乎都是数学家们凭空想出来的，所以才会有今天越来越抽象，越来越让普通人看不懂的数学，甚至连数学家们彼此都互相看不懂的现象(比如最近传的很火的望月新一的ABC猜想的证明问题，陶哲轩都表示看不懂)。

很多时候，其实是我们的思维方式，我们的唯物思观，或者我们的实物主义观念，认为人的意识(数学概念当然是意识的一种)，应该是物质或者实践的反应，所以一定存在其物质或者实践的对应物等等。

其实未必如此，至少数学就不是这样，她相当程度上就是意识自身的产物，即意识产生意识。

莱布尼茨发明微积分的时候，根本就没有观察到什么客观事物的极限(或者微分)特性，完全就是数学假设和推导。

回到我们的问题，虚数i怎么来的，很简单，就是数学家们觉得简单如x²+1=0应该有解，但是在实数域里面就是没有(否则矛盾)，只好另外定义一个，然后就有了复数。

至于有史以来最漂亮的欧拉公式，或者引进复空间的闵科夫斯基，把相对论用数学完美表达。

还是量子力学里面永远离不开的复变量等等等等，那都是后来的数学家和物理学家，奇妙思维的产物，如此而已。