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证明要用到高中的知识。
设p点在PF段运动的速度为V。那么在FE段运动的速度为√2v/2。
再设F点坐标为（1，y）又知A（1，3） E（2,0）
由两点间距离公式得：
PE=√[(1-1)^2+(3-y)^2]=3-y
FE=√[(2-1)^2+(y-0)^2]=√(y^2+1)
那么从P到E点所用的时间
t=PF/v+FE/(√2v/2)
=(3-y)/v+√(y^2+1)/(√2v/2)
=√(2y^2+2)-y+3
现在只要求出当函数t（y）取得最小值时，y的值就可以了。
利用函数导数的知识。
对函数求导。t‘=√2y/(√y^2+1)-1
令t’=0
解得y=1或者y=-1（舍去）
当y在（-∞，1）t‘<0。函数减。
在（1，+∞）函数增。
所以y=1是函数的极小值点。
因为只有一个极值点，所以y=1是函数的最小值点。
所以点F的坐标为（1,1）

《可能性的大小》教学设计和评析
执教 北京东城区府学胡同小学 王彦伟
评析 北京景山学校 郑俊选
教学内容：可能性的大小（人教版三年级上册P106～107例3、例4）
教学目标：
1．知识技能目标：使学生进一步体验不确定事件，知道事件发生的可能性是有大小的。
2．过程方法目标：经历事件发生的可能性大小的探索过程，初步感受随机现象的统计规律性。在活动交流中培养合作学习的意识和能力。
3．情感态度价值观目标：感受数学就在自己身边，体会数学学习与现实的联系。进一步培养学生求实态度和科学精神。
教学重点：学生通过试验 *** 作、分析推理知道事件发生的可能性有大有小。
教学难点：利用事件发生的可能性的知识解决实际问题。
教学过程：
一、 感受可能性的大小。（复习事件的确定性和不确定性。）
1．出示问题：
（1） 谈话引入：通过前面的学习，我们已经知道了在生活中，有的事情可能发生，有的事情是不可能发生的，今天我们进一步研究可能性问题。
（2） 复习旧知：先来复习一下学过的知识。
A B C
师：草地上有三个盒子，小红希望一次就能摸出一个黄球，我们建议她从哪个盒子里摸？为什么？
师：为什么不建议小红从B盒或C盒摸呢？
2．师：既然B盒和C盒都可能摸出黄球，哪个盒子摸到黄球的可能性最大？为什么？
3．导入：可能性真的有大小吗？今天我们就研究这个问题。
[板书：可能性的大小]
二、验证可能性的大小。
（一） 研究两种结果可能性的大小。
1．学生试验前的猜测。
（1）师： 老师这里也有一个盒子，里面放了红黄两种数量不一样的球，摸到哪种颜色球的可能性大呢？猜一猜 ，然后用遥控器选择。
（2）出示：摸到哪种颜色球的可能性大？
①红球 ②黄球
（3）学生选择。
导语：咱们这么猜科学吗？在试验的过程中允许改变自己的选择。
2．学生试验。
师：请大家推选两名同学上来担任记录员，用写“正”的方法来记录大家每次摸球的情况。男女生各选一名同学上来摸球。一名同学负责拿着盒子，每次要把球摇匀。下面让我们一起关注他们每次摸的结果，并大声告诉记录员。
正
正 正 正
共（ ）次
共（ ）次
3．根据试验结果再次选择。
（1）师：我们已经试验了20次，算一算绿球一共摸了几次？红球呢？看着这两个数据，你们有想法吗？如果再允许你们选一次，怎样选？
（2）出示：摸到哪种颜色球的可能性大？
①红球 ②黄球
（3）学生选择。
32人
0人
4．发现规律。
师：原来选择红球的同学你们为什么都改变了自己的立场？
5．进行验证。
教师揭开盒盖验证。
6．总结规律。
师：通过这个活动，我们得到了什么结论？
黄球的数量比红球多，摸出黄球的可能性大。红球数量比黄球少，摸到红球的可能性就小。
板书：在一定的条件下：
7．深化结论。
师：想象一下，如果我们继续摸下去，结果会怎样？如果只摸一次，一定能摸出黄球来吗？
小结：只有摸的次数越多，摸出黄球的可能性就越大。
（二）研究三种结果可能性的大小。
1．导入：通过实验我们知道了，两种结果可能性的大小情况。如果再增加一种颜色，是否仍然符合“物体数量多少决定摸出哪种物体可能性大小的规律”呢？
2．出示试验提示： 试验提示：
摸的次数要尽可能的多，
每次摸完放回摇匀再摸。
3．学生小组合作试验。
试 验 记 录 表
( )个 （ ）个 （ ）个

猜想：
摸出（ ）的可能性最大；
摸出（ ）的可能性最小。
共（ ）次
共（ ）次
共（ ）次
师：请大家观察统计的数据，结论和你们组原来的猜想一样吗？交流一下有什么发现？
4． 全班汇报。
六个组摸到红球的多，两个组摸到的蓝球多。
学生讨论：两个组摸到蓝球多这种这种情况可能吗？
5． 得出结论：可能性大小与物体数量多少是密切相关的。
6．导语：我们在猜一猜，试一试的过程中做出了可能性大小的判断， 现在你们能直接根据数量来判定可能性大小吗？
三、应用可能性的大小。
（一）连一连。
每次摸一个球，在每个口袋里都摸30次，结果会怎样？你能用线连一连吗？
摸出红球的可能性大 摸出的一定是黄球 摸出黄球的可能性大 摸出的一定是红球
1．每一位学生动笔在小篇上连线。
2．实投汇报。
（二）设计转盘，灵活运用。
1．师：现在如果你是商场这次活动的策划者，打算怎么设计这个转盘？
如果你是一个顾客，你又想怎样设计这个转盘？现在请我们班这部分同学做商场活动的策划者，另一部分同学做顾客，分头设计这个游戏转盘。设计完后整理自己的设计想法，准备讲给同学听。
2．动手设计。
3．学生汇报。
（1）商场策划者。（2）顾客。
4．小结：我们应用所学的知识，解决了转盘设计问题，知道了涂色面大，转到的可能性就大，涂色面小，转到的可能性就小。
5．全课总结。
（三）设疑激趣，引发思考。
1．引入：生活中应用可能性解决问题是很多的，例如大家都爱看儿童节目，下面这个节目你们一定看过，是七色光栏目中的“夺宝队队对”节目，我们将要看到的是“排雷闯关环节”中，绿队和蓝队对抗情况。
2．学生观看。
3．反馈。
提两个问题请同学们回去思考：
①数字方块为什么不听同学们的话，你能用今天学到的知识解释其中的道理吗？
②如果想让扔出6的可能性大，应该怎样在方块上标数字呢？
[专家评析]：
“可能性的大小”的教学设计，到目前为止我们听到的或者看到的，几乎都是把事件发生的确定性与不确定性，以及对不确定性事件可能性大小的探讨，综合在第一课时里进行。北京市东城区小学数学教研室从新教材（人教版）实验的需要出发，决定对这部分内容作进一步的研究，并且由府学小学王彦伟老师来承担教学任务。王老师将教材中的前两个例题安排在第一课时，让学生凭借自己的生活经验和已有的课内外知识，去充分地感受事件的发生存在着确定性与不确定性这两种情况，而且在现实世界中，严格确定性的现象是十分有限的，不确定现象却是大量存在的，这就为第二课时引导学生重点从不确定现象中去寻找可能性大小的规律作好了必要的认知上的准备。我们都知道，在自然环境和社会生活以及生产中存在着大量不确定的现象，这种现象也叫随机现象。随机现象从表面上看，似乎没有什么规律，但实践证明，如果同类的随机现象，大量的重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。可能性大小实际上也就是研究随机现象的规律。但是这对小学生来说，无疑是一种全新的概念，需要通过教学活动，帮助学生积累一些对随机现象发生的可能性大小的体验。我们把这种随机的思想渗透到数学课程中来，使学生能够感受到数学就在自己的身边，体会到数学学习与现实世界有着密切的联系。让学生既学习应用数据进行可能性大小推断的数学思考方法，同时也教育学生要以随机的观点来认识社会、认识世界，并且在潜移默化地培养学生尊重事实的科学的世界观和方法论上，发挥我们数学学科的特殊作用。
王彦伟老师执教的《可能性的大小》这节课，我认为有以下这几个特点：
一、目标明确，层次清楚，环节紧凑。
王老师从知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观三个方面制定了明确、具体、 *** 作性强的教学目标，教学过程始终围绕着教学目标有层次地展开。在短短的四十分钟里，学生在教师的引导、组织下，经历了“导入—体验—发现—应用—延伸”这五个环节，使学生初步了解随机事件发生的可能性大小的规律。
让我们一起再来回顾一下：
第一个环节：是让学生先观察，然后思考后回答：在A、B、C 3个透明的盒子里，盛有总数量相等、但红、黄两色数量不等的球。“小红希望一次就能摸出1个黄球来，我们建议她从哪个盒子里摸？”“在另外两个盒子里，哪个摸到黄球的可能性最大？”通过学生对这两个问题的讨论，简捷地复习了第一课时关于“事件的确定性与不确定性”的知识，并顺利地导入了对不确定事件的“可能性大小”的研究。
第二个环节：是让学生在不了解盒子里装球的数量的情况下，先行预测“摸出哪种颜色球的可能性大？”这显然是带有一定的盲目性，不可避免的含有“碰碰运气”的成份。但是，教师允许学生在观察摸球实验的过程中，修正自己最初的选择，进而让学生体验到，只有根据实验中获得的数据去进行判断才是有科学依据的，培养学生的求实态度和科学精神；通过这个实验初步体验和发现“可能性大小”的规律。
第三个环节：是通过小组合作的方式，进一步研究：如果再增加一种颜色，是否仍然符合物体数量多少决定摸出哪种物体的可能性大小的规律呢？学生在亲自实践中，强化了对“可能性大小与物体数量多少有关”这样一个结论的认可。
第四个环节：是让学生应用“可能性大小”的数学知识去解决生活中的一些问题，在应用中深化对随机现象的统计规律的认识。
最后一个环节：是向课后延伸，引导和培养学生关注生活中数学问题的意识。
二、妙设情境，激疑解惑，发现规律。
教师找准了新知识的切入点，巧妙地、有的放矢地创设了贴近学生生活、含有数学问题的情境。把问题设在学生认知的最近发展区，为学生思维上的矛盾和冲突搭起了一个平台，调动起学生运用自己原有的知识和生活经验去经历数学知识的产生、发展、形成的过程，去实现知识的建构，并从中受到数学思想方法的熏陶。由于教师在创设情境时，使用了学生喜闻乐见的素材，学生思考起来会感到非常亲切、有趣，也易于理解和掌握，从中获得积极的情感体验。
王老师为了实现预定的教学目标，每一环节都为学生的参与，创设了要求不同、形式多样、生动有趣的实践活动情境。让学生在观察、实验、交流与反思中，逐步丰富对不确定现象的可能性大小的体验。让学生认识到，对某一随机现象来说，其发生的可能性大小，不取决于个人的意愿，而是与物体数量的多少有关。
王老师认识到，只有当学生的行动有了明确的目的性，学生参与学习的积极性才有可能真正的被调动起来，这一思路成为王老师设置情境的出发点。下面我们从整个课堂教学的活动中选取两个例子来说一说：
情境之一：新课导入后，为了集中学生的关注点，教师对学生说：盒里装着两种颜色的球，如果不打开盒盖，你能知道哪种颜色的球多吗？在明确提出了上述的问题后，要求学生作出相应的猜测。“那怎么能检测自己的猜测是否正确呢？”这时，全班一致认为“我们可以通过摸球的次数对猜测作出检验”，有了这样的一种认识以后，摸球活动便成为学生的一种自觉、主动的需求，成为全班同学的共同关注点。学生会以极大的热情关心每一次摸出球的颜色和黑板上的统计数据的变化，并会不停地思考，自己最初的预测是不是对了？还需不需要调整选择呢？随着情况越来越明朗，我们看到学生的选择也越来越趋向于一致。教师适时地要求学生说明改变选择的理由，之后，便十分顺利地引出了结论，这时，教师揭开盒盖的神秘面纱，验证了学生的选择是正确的。就这样，学生在主动关注摸球的 *** 作过程中，经历了猜测、观察、思考、分析和选择，体验了成功，获取了新知。
情境之二：在小组合作活动时，教师为八个小组各提供了一袋球，虽然各袋中球的数量相等，但同颜色球的数量却不等，关于这个情况学生并不知晓。当 *** 作活动结束，各小组汇报后，同学们看到六个小组得出的结论是完全一致的。原以为同学们可能会在思维定势的作用下，怀疑与自己组结论不同的另外两个组，是不是因为 *** 作不当，还是别的什么原因影响他们得出“正确”的结论。但课堂上的实际情况是，居然有的同学应用了刚刚学到的关于“可能性大小”的知识，解释了其中的原由。当这两个组向全班展示不同颜色球的数量，验证了大家的分析正确时，喜悦之情便油然而生。我们还看到，在总结规律的时候，学生明白，虽然六个组和两个组对结论的具体表述内容因颜色有所不同，但是它们的内涵具有共性，这就又一次说明：随机现象发生的可能性大小与物体数量多少是密切相关的。
另外，王老师让学生应用今天所学的知识去解决实际问题时，以扮演“策划者”或“顾客”的不同身份，去设计抽奖转盘，学生积极参与，颇有身临其境的感觉。特别当学生运用“可能性大小”的知识去说说自己的设计想法时，教室里欣赏、赞许的笑声不断。总之，为了让学生探索随机现象中“可能性大小”的规律，并学习运用规律去解决一些简单的生活中的问题，本节课多处都体现了教师在创设情境时的良苦用心，我就不在这里一一赘述了。
三、内化理念，改革创新，落在实处。
教师的“教”应该是真心实意地为学生的“会学”“乐学”服务的。教师要以热情的鼓励、积极的引导、耐心的期待、客观的评价，把学生推向自主学习的舞台，让学生在感受、猜测、思考、 *** 作、交流与反思中获取知识、发展智力、培养能力，完善人格和认知结构。王老师在课堂教学中很好地发挥了引导者、组织者和合作者的作用，让学生在动手 *** 作、自主探索、合作交流等一系列活动中，发挥了学习中的主体作用，使他们真正成为了课堂学习活动的主人。
为了激发学生的学习热情，调动起学生参与学习的积极性，王老师结合教学需要，采取了形式多样的教学方式。有让学生直接观察直观材料进行判断和选择的；有让全班学生带着一分期待的心情，共同关注摸球之后得出的统计数据决定是否调整自己最初选择的；有采取小组合作的方式，进一步研究数量多少与可能性大小的关系的；有让每一个学生独立判断数据与文字表述之间的对应关系后，动笔进行匹配连线的书面练习作业的；有应用可能性的大小与数量的多少有关的知识，去理解、分析商家促销活动的营销策略的；有让学生按“顾客”的意愿，运用可能性的知识设计抽奖转盘的；还有让学生从“排雷闯关”的录像片断中，用数学的眼光去寻找与今天学习有关的知识，把课堂学习内容向课后延伸。总之，教学形式的多样化，极大地丰富和满足了学生的学习需求，激发起学生不断探索新知识的强烈欲望。
练习是课堂教学活动中的重要内容，练习中的反馈也已经普遍地引起了重视，及时、准确、全面的信息反馈，是推动课堂教学进程的关键。在这节课上，教师既使用了我们常见的反馈方式，如：个体的口头回答，书面的连线作业，也有小组汇报合作成果，展示动手设计抽奖的小转盘等；特别值得一提的是，教学中使用了“选择器”这样一个现代化的信息反馈手段，不仅使教师在很短的时间内，既全面又及时、准确地掌握了全班每一个学生的真实想法，也便于同学之间的互相观摩、互相学习、互相交流。传统的教学手段与现代化信息技术手段相互配合，相互补充，相得益彰，大大地提高了课堂教学的效率。
此外，教师在运用评价语言激励学生参与学习、在课堂教学时间的分配、在提纲挈领的板书设计、在教态和师生关系等方面，都是做得挺好的。
如果说，还有什么不足之处，那就是在教学语言的运用上，今后还需要在教学实践中不断提高，更好地发挥语言在教学中的独特魅力。
常言道：“学无止境”，我想“教”也应该是“无止境”的。希望王老师在数学教学改革的道路上继续努力，为教育事业做出新的成绩。

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