树状图亦称树枝状图。树形图是数据树的图形表示形式，以父子层次结构来组织对象。是枚举法的一种表达方式。

为了用图表示亲缘关系，把分类单位摆在图上树枝顶部，根据分枝可以表示其相互关系，具有二次元和三次元。在数量分类学上用于表型分类的树状图，称为表型树状图（phenogram），掺入系统的推论的称为系统树状图（cladogram）以资区别。表型树状图是根据群析描绘的，系统树状图是根据一种模拟的假定的性状进化方向即用电子计算机描绘的。

树状图也是初中学生学习概率问题所需要画的一种图形。

如何画树状图

最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点v，求一棵有向生成树T，使得该有向树的根为v，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。

　　判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的算法中不再考虑树形图不存在的情况。

　　在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。

　　首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以 证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在 该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。

　　上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除 掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。

　　如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的 自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。

1．使学生会画树形图计算简单事件的概率

2．通过画树形图求概率的过程培养学生思维的条理性，提高学生分析问题、解决问题的能力

3．通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性

教学重点:画树形图计算简单事件的概率

教学难点:通过学习画树形图计算概率，培养学生思维的条理性

教学方法:学生自主探究、合作交流与教师启发引导相结合

教学用具:计算机辅助教学

教学过程:

师生活动 设计意图

一、复习提问 巩固旧知

问题1．用列举法求概率的基本步骤是什么？

(1)列举出一次试验的所有可能结果；

(2)数出 ；

(3)计算概率 ．

问题2．列举一次试验的所有可能结果时，学过哪些方法？

直接列举、列表法．

本节课是用列举法求概率的第三节课，对前两节课所学方法的步骤进行归纳，温故以利知新．

二、创设情境 探究学习

2006年6月5日是中国第一个“文化遗产日”，我校承办了“责任与使命——亲近文化遗产，传承文明火炬”的活动，其中有一项“抖空竹”的表演．已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机选用其中的一种空竹．求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率．

学生利用学过的知识，自主探究解决上述问题．学生在探究学习活动中会有不同的表现，针对可能出现的情况设计教学预案如下：

教学预案1：直接列举法的指导

具体到抽象：

有的学生用“木质”“塑料”来直接列举；有的学生用字母、数字、符号来表示“木质”“塑料”进行列举．及时对学生不同的方法给予肯定，对那些进行简化的同学更要给予表扬，在简化过程中培养学生抽象思维能力．

无序到有序：

及时肯定学生的参与意识．对于列举不完全或重复的同学，引导他们进行有序地列举，同时请学生思考如何做到不重不漏；对于列举完全的同学，启发他思考能否更直观地展现列举过程．

教学预案2：列表法的指导

用这个方法时，如何把一次试验的三个步骤同时反映在一个表格中，学生会遇到困难．此时引导学生思考：为什么这个问题用列表的方法不容易解决呢？还有没有其它更好的列举方法呢？

教学预案3：画树形图的指导

少数学生也有可能画出树形图，表扬使用这种方法的学生，并请学生阐述这种方法的优越性，及如何实施这种方法．如果没有学生画出树形图，由于学生在小学或其它学科接触过树形图，引导列举完全的学生画出树形图．

以我国第一个“文化遗产日”为背景提出问题，激发学生学习兴趣和参与意识．

设计探究学习活动,有利于展示学生对问题解决的不同策略,真正体会问题解决的过程，培养学生的创新精神和克服困难的勇气．探究活动前的教学预案使课堂的指导更有针对性

把发现新方法的机会留给学生，增强学生学习的自信心和成就感．

三、交流展示 引出新知

请有序列举的同学板书探究结果，并进行简单说明．

塑料—A 木质—B

方法1： 方法2：

（甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件 ）．

点评：两种方法各有优点，尤其方法2借助图形来计数，当一次试验要经过多个步骤才能完成时，方法2比方法1更能直观地展示思维的过程．

教师指出方法2画出的图形称为“树形图”，今天我们的课题是画树形图求概率．

教师板书：画树形图求概率

问题：如何根据题意画出树形图列举一次试验的所有可能结果？

师生归纳总结：

（1）明确完成一次试验要经过几个步骤；

（2）根据一次试验中几个步骤的顺序直接画出树形图．

由两位学生板书展示他们的思维过程，引导大家对两种方法进行比较，并和自己的方法也进行比较．通过生生互学感受思维的条理性和实施的有序性，为后续的教学做好准备．

学生完成对画树形图的初步认识

四、剖析例题 加深认识

例题甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出一张卡片．求

（1）取出的3张卡片中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？

（2）取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？

师生分析：

第一、明确试验步骤：本题一次试验中有几个步骤？顺序是怎样的？

一次试验中有三个步骤，但抽取顺序是不确定的．不妨设抽取顺序为从甲盒取一张、从乙盒取一张、从丙盒取一张．

第二、画出树形图：学生试画后，教师板书．

教师板书：

解：根据题意，我们可以画出如下“树形图”：

第三、计算概率：明确随机事件，正确数出 的值，计算概率．

师生共同讨论得出：本题中共有四个随机事件，要分别数出每个随机事件中 的值学生讨论后归纳出正确数出 的方法：

方法1：通过画出的树形图按由上至下，由左至右的方法把每一个可能的结果写出来，从中找出 的值．

方法2：直接看树形图的最后一步，就可以求出 的值；再由最后一步向上逐个找出符合要求的可能结果，就可以求出 的值了．

教师板书：

由树形图可以得到，所有可能出现的结果有12个，这些结果出现的可能性相等．

（1）只有一个元音字母的结果有5个，所以 ；

有两个元音字母的结果有4个，所以 ；

全部为元音字母的结果有1个，所以 ；

（2）全是辅音字母的结果有2个，所以 ．

第四、归纳方法：画树形图求概率的基本步骤：

（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；

（2）画树形图列举一次试验的所有可能结果；

（3）明确随机事件，数出 ；

（4）计算随机事件的概率 ．

第五、思考：前面我们按甲、乙、丙的顺序画出树形图，如果改为其它的顺序，求出的概率还是一样的吗？

适当改编书上的例题，让背景更简单些，有利于学生把更多的精力放在树形图的画法和概率的计算上，让绝大多数学生在解决这个问题中，掌握画树形图求概率的方法，增强学习的自信心．

明确随机事件的过程培养学生的随机意识，总结不同的数 的方法供不同层次的学生选择使用

使学生体会一次试验步骤的不同顺序，不影响随机事件发生的概率．

五、课堂练习 巩固新知

练习1．三个同学约好一起去打乒乓球，可每次只能两个人先玩。于是他们决定用“手心手背”的游戏方式来确定哪两个人先玩，并说出了如下规则：

三人同时伸出一只手，三只手中，恰好有两只手心向上或者手背向上的两人先打乒乓球．如果三只手的手心方向一致，再次进行，直到确定二人为止．

试求出一次游戏就确定出两人先玩的概率．

实物投影展示学生的答案，师生共同进行点评

变式1：从本班中选三个学生参加公益活动，试求选出的三人中恰好有两个学生性别相同的概率？

变式2：同时抛三枚硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率是多少？

练习2、袋中放有北京08年奥运会吉祥物五福娃纪念币一套，依次取出（不放回）两枚纪念币，求取出的两枚纪念币中恰好有一枚是“欢欢”的概率是多少？

解：两枚纪念币中恰好有一枚是“欢欢”记为事件 ．

解法1:直接列举求得 ；

解法2:列表法求得 ；

解法3:画树形图求得

发散思维训练：你能以此题为背景编一道计算等可能事件概率的题目吗？

请学生小组讨论后派代表发言，教师点评．

练习1巩固画树形图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．

变式训练使学生正确区分随机事件，并体会不同的实际问题可以抽象为同一个数学模型

练习2是两步不放回地抽取,展示学生解题策略的多样性,也体现画树形图求概率应用的广泛性

培养学生发散思维和创新能力，此处灵活选择．

六、归纳小结 布置作业

师生小结：

（1）总结画树形图求概率的方法，并和其它列举法求概率的方法进行比较．

（2）画树形图求概率体现数形结合及分类的思想．

（3）通过把实际问题抽象为数学问题，在有序的列举过程中培养学生的抽象能力及思维的条理性．

布置作业：

（1）教材P154练习1,2；P155综合运用5，6

（2）以生活中等可能事件为背景,自拟计算概率的题目，并解答

培养学生归纳总结的能力．

落实知识和技能，体会数学与生活的密切联系．

教学设计说明

一、教学背景

列举法求概率是建立在等可能事件的前提下，在没有排列组合相关知识的基础上，通过列举所有等可能结果来求概率的一种方法．由于学生已经初步了解随机事件和概率的有关概念，并能用直接列举和列表法求简单事件的概率，在学生已有的基础上，本节课再寻求一种更一般的列举方法求概率——画树形图求概率在列举过程中培养学生思维的条理性，并把思考过程有条理、直观、简捷地呈现出来，使得列举结果不重不漏

二、教学过程

本节课由“探究学习——交流展示——剖析例题——巩固新知”有序地展开新课，并向学生提供充分从事数学活动的机会，使学生在活动中感受列举方法由无序到有序，呈现方式由无序到有序，解决问题由无序到有序，逻辑思维由无序到有序的过程．

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，由于学生在小学或其它学科中接触过“树形图”，因此本节课在引入树形图这种新的列举方法时，以学生的生活实际为背景提出问题，在自主探究解决问题的过程中，自然地学习使用这种新的列举方法．使学习过程成为发现与创造的过程，合作交流的过程充分展示学生解题策略的多样性，挖掘每个学生的学习潜能，使学生人人有成就感，并享受学习带来的快乐．

以现实生活为背景提出问题，激发学生的学习兴趣和主动参与意识．面对这些问题时，鼓励学生主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，使学生感受数学和生活的密切联系，在问题解决的过程中培养兴趣、追求简捷、重视直观、学会抽象．

在插入图表中选择树状图即可。

具体操作步骤如下：

1、打开PPT新建空白文档后简单设置一个背景。

2、选择插入。

3、选择图表。

4、在弹出对话框选择树状图。

5、选取颜色和样式，完成制作。