杜甫和杜牧的关系是:同为晋代大学者、名将杜预之后,不过两支派甚远,杜甫出自杜预次子杜耽,而杜牧出自杜预少子杜尹。

杜牧和杜甫本身是没有任何血缘宗室之类的关系的。

杜甫（唐朝著名现实主义诗人）：（712年-770年），字子美，汉族，本襄阳人，后徙河南巩县。自号少陵野老，唐代伟大的现实主义诗人，与李白合称“李杜”。

杜牧（803年-约852年），字牧之，号樊川居士，汉族，京兆万年（今陕西西安）人。因晚年居长安南樊川别墅，故后世称“杜樊川”，著有《樊川文集》。

杜牧的诗歌以七言绝句著称，杜牧人称“小杜”，以别于杜甫，“大杜”。与李商隐并称“小李杜”。

杜甫是杜预的后代，这个观点从何而来？

杜甫出身于一个世代为官的家庭。他的祖先多半是些太守、刺史、县令之类的官员。所以杜甫后来在《进雕赋表》中曾说：“自先群恕预以降，奉儒守官，末坠素业矣。”又在《唐故万年县君京兆杜氏墓志》中说：“吾祖也，吾知之。远目周室，迄于圣代，传之以仁义礼智信，列之以公侯伯子男。”这种属于封建社会的特权阶级的家庭，“生常免租税，名不隶征伐”（《自京赴奉先县咏怀五百字》）。一切生活都恪守儒家的仁义礼智信的信条。杜甫整个少年时代，都是在这种板滞的儒家气氛中度过的，“不但在族望上，便论德行和智慧，他知道，也应该高人一等”（《闻一多全集・唐诗杂论》）。

在诸祖中，最使杜甫敬仰，对他影响也最大的，是第十三代祖、晋代名将杜预，和祖父、初唐诗人杜审言。

春秋左氏传集解》，又参考众家谱第，谓之《释例》。又作《盟会图》、《春秋长历》，备成一家之学。卒后，追赠征南大将军，开府仪同三司，溢曰“成”（《晋书》卷三十四列传第四《杜预传》）。

杜预的“立功立言”，一直是鼓舞杜甫积极追求仕进的力量之一。因此，杜甫不但在《进雕赋表》中崇敬地提到他，为自己是这位文稻武略的学者、将军的后代而感到无上光荣，而且早在开元二十九年，杜甫还居住在首阳山下杜预的坟墓所在地时，就写了《祭远祖当阳君文》，“磨刻丰石，树此大道”，表扬这位远祖显赫的名号;表明筑室首阳之下而居，是“不敢忘本，不敢违仁”。晚年，杜甫在《回棹》诗中还念念不忘“吾家碑不昧”。功业显赫的杜预，使杜甫产生了多么强烈的建功立业的欲望！

杜甫，字子美，本襄阳人，后徙河南巩县。曾祖依艺，位终巩令。祖审言，终膳部员外郎，自有传。父闲，终奉天令。

　　甫天宝初（注：应为开元末）应进士不第。天宝末，献三大礼赋，玄宗奇之，召试文章，授京兆府兵曹参军（注：应为右卫率府参军）。十五载，禄山馅京师，肃宗征兵灵武。甫自京师宵遁，赴河西（注：时未尝到河西），谒肃宗于彭原（注：应为凤翔），拜右拾遗（注：应为左拾遗）。房〔王官〕为布衣时，与甫善。时〔王官〕为宰相，请自帅师讨贼，帝许之。是年十月，〔王官〕兵败于陈涛斜。明年春，〔王官〕罢相。甫上疏言〔王官〕有才，不宜罢免。肃宗怒，贬〔王官〕为刺史，出甫为华州司功参军。时关辅乱离，谷食踊贵，甫寓居成州同谷县（注：成州之上漏去秦州），自负薪采〔木吕〕，儿女饿殍者数人。久之，召补京兆府功曹（注：公不赴功曹之命，系代宗广德元年居梓、阆间事）。

　　上元二年冬，黄门侍郎郑国公严武镇成都（注：武凡两镇成都，其在上元二年，则以绵州刺史迁东川节度，兼除西川。至以黄门侍郎再帅剑南，乃代宗广德二年事），奏为节度参谋、检校尚书工部员外郎，赐绯鱼袋（注：此在严再镇后，非上元也）。武与甫世旧，待遇甚隆。甫性褊躁，无器度，恃恩放恣，尝凭醉登武之床，瞪视武曰：“严挺之乃有此儿！”武虽急暴，不以为忤。甫于成都浣花里，种竹植树，结庐枕江，纵酒啸咏，与田夫野老相狎荡，无拘检。严武过之。有时不冠。其傲诞如此。永泰元年夏，武卒，甫无所依（公之去蜀东行，以公诗证之，当在严武未卒之前）。

　　及郭英乂代武镇成都，英乂武人，粗暴，无能刺谒，耐游东蜀，依高适（注：时适已官京朝，不在东蜀，公亦未依适）。既至而适卒。是岁，崔宁杀英乂，杨子琳功西川，蜀中大乱，甫以其家避乱荆楚（注：去蜀后居夔且二年，史漏），扁舟下峡。未维舟而江陵乱（注：其时江陵无警），乃溯沿湘流，游衡山，寓居耒阳（注：自衡往郴，舟泊耒阳耳，未尝寓居也）。甫尝游岳庙，为暴水所阻（注：阻水不在岳庙），旬日不得食。耒阳令知之，自棹舟迎甫而还。永泰二年（注：当作大历二年），啖牛肉白酒，一夕而卒于耒阳（注：此说出于唐小说家，不可信，当以公诗正之），时年五十有九。子宗武，流落湖湘而卒。元和中，宗武子嗣业自耒阳迁甫之柩（注：元氏撰墓系，无自耒阳之文），归葬于偃师西北首阳山之前。