托勒密定理 [4托勒密定理与西姆松定理]
§4托勒密定理与西姆松定理
托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
即:定理:在四边形ABCD中,有:ABCDADBCACBD
证:在四边形ABCD内取点E,使BAECAD,ABEACD 则:ABE和ACD相似 又
ABBE
ABCDACBEACCD
ABAE
且BACEADABC和AED相似ACADBCED ADBCACED
ACAD
ABCDADBCAC(BEED) ABCDADBCACBD
且等号当且仅当E在BD上时成立,即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立; 并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等式成立;
一、直接应用托勒密定理
例1、 如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合), 求证:PA=PB+PC.
分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗. 若借助托勒密定理论证,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB,∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+PC.
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 、证明“勾股定理”:在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2 证明:如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD 是圆内接四边形.由托勒密定理有
AC·BD=AB·CD+AD·BC. ①
又∵ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD. ② 把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3 、如图,在△ABC中,∠A的平分线交外接圆于D,连结BD, 求证:AD·BC=BD(AB+AC). 证明:连结CD,依托勒密定理有
AD·BC=AB·CD+AC·BD.
∵∠1=∠2,∴ BD=CD.
故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC). 三、构造图形 借助托勒密定理
例4 若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1.
证明:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB, 使AC=a,BC=b, BD=x,
AD
=y.
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的. 据托勒密定理有
AC·BD+BC·AD=AB·CD. ∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1. 四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理
例5、已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B.
分析:将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰 梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c.
证明:如图,作△ABC的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、
∴∠ABD=∠BAC. DA.∵AD=BC,ACDBDC
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.
依托勒密定理有
BC·AD=AB·CD+BD·AC. ① 而已知a2=b(b+c),即a·a=b·c+b2. ②
∴∠BAC=2∠ABC.
五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
例6 、在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
分析:将结论变形为AC·BC+AB·BC=AB·AC,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密 定理,进而构造圆内接四边形.
如图,作△ABC的外接圆,作弦BD=BC,连结AD、CD. 在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理有 AC·BD+BC·AD=AB·CD
易证AB=AD,CD=AC,∴AC·BC+BC·AB=AB·AC,
练习1已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC=AB+AB·BC。 分析过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。 则CD=DA=AB,AC=BD。由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。
练习2由ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN,
2
2
BCACAB
PKPLPM
证:连接PA、PB、PC,对于四边形ABPC利用托勒密定理有: BCAPACBPABCP
BCACAB APPKBPPLCPPM
PKPLPM
由KBPLAP可知RtKBP和RtLAP相似
PKPB APPKBPPL
PLPA
同理可得:BPPLCPPM
BCACAB
APPKBPPLCPPM可得:PKPLPM
BCACAB
PKPLPM 由
:从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或它们的延长线引垂线,西姆松(Simson)定理(西姆松线)
垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线
证明:连接DE、DF,显然,只需证明BDFEDC即可; BDPBFP90B、F、P、D四点共圆, BDFBPF同理可得:EDCEPC
又BFPPEC90且PCE180PCAPBA BPFEPCBDFEDCD、E、F三点共线
注:
1直线DEF叫做ABC的关于P点的西姆松线;2西姆松定理的逆定理也成立,即:
从一点P向ABC的三边(或它们的延长线)引垂线,若其垂足D、E、F在同一直线上,则P在ABC 的外接圆上;
3西姆松定理还可推广为:
从ABC外接圆上任意一点P引与BC、CA、AB分别成同向的等角直线PD、PE、PF,它们与三边 交点分别为D、E、F,则D、E、F三点共线。
例7、设ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F;从点D作
AB、BE、CF、AC的垂线,其垂足分别为P、Q、R、S,求证P、Q、R、S在同一直线上;
证明:设ABC的垂心为O,则O、E、C、D四点共圆 由西姆松定理有:Q、R、S三点共线 又O、F、B、D四点共圆
且由西姆松定理有:P、Q、R三点共线 P、Q、R、S四点共圆
例8、四边形ABCD是圆内接四边形,且D是直角,若从B作直线AC、AD的垂线,垂足
分别为E、F,则直线EF平分线段BD。
证明:作BGDC,由西姆松定理有:F、E、G共线, 又BFDFDGDGB90 四边形BFDG为矩形
对角线FG平分另一条对角线BD
例9、求证:四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在一条直线上; 证明: 如图,设四条直线AB、BC、CD、AD中,AB交CD于点E,
BC交AD于点F,圆BCE与圆CDF的另一个交点为G BGFBGCCGFBECCDA
BGFA180,即圆ABF过点G同理圆AED也过点G 圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点
G
若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P,由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上,
M、N、P在一条直线上,故L、M、N、P在同一条直线上
例10、设ABC的外接圆的任意直径为PQ,则关于P、Q的西姆松线是互相垂直的。 提示:由P、Q向BC作垂线并延长交外接圆于点P"、Q",先证P"A、Q"A分别与点P、Q
""""
的西姆松线平行,再证PPQQ是矩形,则PAQA作业:
1.设AD是△ABC的边BC上的中线,直线CF交AD于F。 求证:
2.过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F, 交CB于D。求证:
。
。
3.D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上,
, AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN。
4.以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、 △CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG相交于一点。
5.已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证:
。
6.△ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P,作PE⊥AB 于E,延长ED交AC延长线于F。求证:BC·EF=BF·CE+BE·CF。
7.正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM:AC=CN:CE=k,且B、M、N共线。求k。(23-IMO-5)
8.O为△ABC内一点,分别以da、db、dc表示O到BC、CA、 AB的距离,以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距离。 求证:(1)a·Ra≥b·db+c·dc; (2) a·Ra≥c·db+b·dc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。
9.△ABC中,H、G、O分别为垂心、重心、外心。 求证:H、G、O三点共线,且HG=2GO。(欧拉线)
10.⊙O1和⊙O2与ΔABC的三边所在直线都相切,E、F、 G、H为切点,EG、FH的延长线交于P。求证:PA⊥BC。
11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD。在CD 上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。
求证:∠GAC=∠EAC。
1分析:CEF截△ABD→(梅氏定理) 评注:也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一 作CF的平行线。
2分析:连结并延长AG交BC于M,则M为BC的中点。 DEG截△ABM→(梅氏定理) DGF截△ACM→(梅氏定理)
∴=
=
=1
评注:梅氏定理 3 梅氏定理 4 塞瓦定理
5评注:托勒密定理
6评注:西姆松定理(西姆松线) 7评注:面积法
8评注:面积法
9评注:同一法
10 评注:同一法
11 证明:连结BD交AC于H。对△BCD用塞瓦定理,可得
因为AH是∠BAD的角平分线,由角平分线定理, 可得,故。
过C作AB的平行线交AG的延长线于I,过C作AD的 平行线交AE的延长线于J。则
,
所以,从而CI=CJ。
又因为CI//AB,CJ//AD,故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。 因此,△ACI≌△ACJ,从而∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC。
我可以给你一些,记不全了(要看定理具体内容自己搜索):
赛瓦定理、西姆松定理、圆幂定理、婆罗摩笈多定理、卡诺定理、欧拉定理、中线长定理、斯特瓦尔特定理、角平分线定理(广义)、正(余)弦定理。能称得上定理的我就记得这些了。还有那个九点圆,记不清怎么回事了;海伦公式,很实用(四边形也有相似的不等式)
PS:1我现在初三,没听着老师说这些定理是不是初中的。还有老师说高中就没有平面几何了。所以估计几何定理初中联赛都用得上。
2我淘到的一个文章,感觉有价值:http://wwwdoc88com/p-314746617272html
托勒密定理 [4托勒密定理与西姆松定理]
本文2023-10-30 19:44:00发表“资讯”栏目。
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