这个说来话长，你要是有耐心，愿意搞清楚这个来龙去脉，我就慢慢跟你唠唠。如果没耐心，那就直接pass了吧。
首先，要从日本的姓、氏、苗字说起。日本的封建社会，和中国最大的不同在于，中国自秦汉始，形成了中央集权帝制的国家后，就实际上结束了封建制，先以孝廉制，后以科举制打破了纯粹以血统定地位官职的制度。所以中国古代有能力没出身的人如何当官呢？举孝廉，养声望名（九品中正制），去考试。而日本并不是这样，大化改新后的日本人能出任什么样的官职，和他姓什么，氏什么，苗字是什么有着决定性的关系，官职和官位基本都是固定的，比如你姓朝臣，那你可以当官，你想当摄政，关白，太政大臣？那你必须是藤原氏，你的苗字必须是近卫，松殿，九条（皆藤原氏），后来松殿失势消失，近卫分出了鹰司，九条分出了一条，二条，这五家就是所谓的五摄家了，摄关职是这五家轮流当的，直到明治维新以后，近卫家还是世袭公爵，出了位首相，没错，就是那个与中国人有着血海深仇的近卫文磨。
所以朝臣与其说是姓，不如说是血统，什么血统呢，就是臣籍，这是你当官的先决条件，你得姓朝臣。我们再来说武官，前面说了，文官必须由藤原氏出任，那么武官，武家呢？平安时代必须由平氏或源氏来出任。这一制度，比起文官的摄关职更加固定，直到说不清来历的北条早云崛起，才被打破，而北条早云的崛起，也就标志着日本进入了战国时代。当然，北条早云出身一说为伊势氏，如果这个出身是真的，那这个打破就不成立了，因为伊势氏就是伊势平氏的直系后人，平清盛的直系后人。改苗字北条，是下降家门了。
扯远了，说回来，武家。我们先要有一个概念，全日本武士的最高贵族，有一个名词叫武家栋梁，即统领全日本官军的统帅，这不是官方的官职，但只有坐到了全日本官军统帅这个地位上，才会被称为武家栋梁。而武家栋梁的官职，有时是征夷大将军，有时是镇守府将军，这要看当时朝廷征战的对象是谁，征夷大将军第一次的设立，是日本朝廷为了征服虾夷（北海道）所设，开始时和源氏并没有什么关系。
下面我们分别来说说平氏和源氏与将军的渊源。平氏不止一支，但通常意义上我们讲的是桓武平氏，即桓武天皇的后人下降臣籍后，被赐平氏，以示血统尊贵，平氏时常有被派遣为国征战，经常出任部队的最高司令官镇守府将军（有时管一国治安，有时管对一个方向的用兵）一职，对付的敌人还经常是源氏。在平安前期，平氏曾经出过一个大妖怪叫平将门，这位是日本历史上唯一一位自立为新皇要推翻天皇的主，而砍了他头的主，就是伊势平氏（和平将门是堂兄弟）的初代家主平贞盛了。可因为平将门反叛的关系，平氏乃至整个武家阶层都受到了朝廷的打压，一直无法出任高位官职，沦为了朝廷和摄关家的鹰犬。到了平正盛平忠盛这两代，才凭借着平定源义亲反叛和濑户内海海盗的功劳，靠着巴结天皇爬到了从四位，压了源氏一头，成为武家第一个重新位列朝堂之上的家族，然后就到了平清盛的时代，一代枭雄成为日本历史上第一位凭借着能力而非血统站到了权力顶点的人，然而还未建立稳定体制，消灭反抗势力，平清盛就憾然病逝，历史把机遇留给了源氏。
源氏也不止一支，历代天皇的皇子下降臣籍，不是平氏，就是源氏，我们通常说的源氏，指的是清和天皇的后代那支，清和源氏。源氏初代栋梁源满仲也是镇守府将军，源满仲的三个儿子分为了摄津源氏，大和源氏以及继承了清和源氏嫡流的河内源氏，河内源氏的初代栋梁源赖信平定了平忠常的叛乱，把包含坂东平氏在内的关东武家势力收为己用，奠定了源氏在关东武家的统领地位基础。二代栋梁源赖义和三代栋梁源义家父子发动了前九年与后三年战争，源义家更是被称为日本第一武士的绝代将军，没记错的话，祖孙四辈都出任了镇守府将军。然后就因为源义光想要谋夺侄子源义忠的源氏栋梁之位，暗杀了源义忠，源氏内乱开始衰落，后来义忠的兄弟源义亲和养子源为义先后两代都反叛了朝廷，反而被平氏借着平定叛乱而上位，到了源义朝继任栋梁的时候，朝中地位跌倒了谷底。
之后就到了平清盛和源赖朝的时代，其实这二家为敌，正是被朝廷不断均衡武家势力的结果，朝廷和公卿们不断地挑唆着一家造反，然后出卖，再指使另一家去平定，可谓凄惨之至。直到平清盛软禁法皇，废立天皇，才结束了武家沦为鹰犬走狗的命运，后来的源赖朝更是站在平清盛的尸骨上，就任了征夷大将军，建立了幕府，对内，完善了针对武家的奉公御恩制和御家人制，切断了朝廷和武家的直接联系，对朝廷，用守护和地头，顶替了朝廷的任官，朝廷变得即无兵，且无地，又无权，沦为傀儡，仅仅保留了象征性意义。
至于镰仓幕府三代以后由摄家或亲王出任将军一事，楼主你误会了，这只是名义上如此而已。实际上，是源赖朝的好老婆，平氏的北条政子，日本的武则天导演的一手好戏，二代三代将军先后遇刺身亡后，源氏嫡流绝嗣，北条政子把孙女嫁给摄关家一个小屁孩儿，立他为将军，但没有任何实权，北条政子以将军奶奶的身份行使将军权力，极大的稳固了镰仓幕府，被称为尼姑将军，在她之后，她的娘家人北条氏长期出任幕府执政一职，统领幕府，将军变成了和天皇一样的傀儡，所以平清盛统治时期平氏积累下的势力，坂东平氏并没有随着源赖朝的幕府建立消失，反而以这种形式篡取了胜利果实，直到足利尊氏又一次举起源氏白旗。
下面就要说说足利是否源氏嫡流的问题，说句实话，比起后来的猴子和德川家康，足利这嫡流的身份来得一点不虚，从河内源氏八幡太郎源义家这儿算，长子源义忠无嗣，过继义家的次子源义亲的儿子源为义作为后代，继承源氏栋梁，这一支绝嗣了，导致将军旁落。但源氏总得有个头领担任源氏栋梁啊，义家的兄弟义光的后代武田家？这是源氏罪人的后代，怎么能当源氏栋梁，义家次子义亲的后代同理，也是源氏罪人的后代，这怎么能服众，也不能当？那就轮到谁了，源义家三子源义国的后代，被封在足利庄的源义康，即足利义康的后代。要问那新田家也是义国的后代，为什么不能当源氏栋梁？第一，足利义康相应源赖朝起兵，是最早跟随源赖朝的有利御家人，第二，足利家世代与北条家通婚，为了控制和安抚源氏，篡权的北条氏当然要让自己的亲家当源氏栋梁了。所以，源氏的御白旗，天下武家宣誓效忠的白旗就被足利继承了。当然如果没什么大事发生，足利是万万不敢把白旗扯出来造反的。可镰仓幕府后期，蒙元入侵来了，北条氏调集了全国的武力，借助天时地利人和抗击了侵略，但问题发生了，幕府拿不出钱和土地来赏赐武家，要说国家穷大家也理解哈，日子紧几年难关也就过去了，可北条家不管打仗打穷了的武家们，不但不给赏赐，且不免税负，还横征暴敛加税，御恩奉公制的平衡被打破了，这天下就开始怨声载道了，大家这才想起来，这天下不是你北条氏的啊，是源氏的，当初源赖朝可不是这么对我们的，你平氏果然和我们不是一家人啊，不行，我们还是得跟着源氏干才靠谱。于是足利高氏（后被天皇改为尊氏）举起当年源赖朝的御白旗，号召天下武家反北条时，武家迅速的就集结到了足利的旗下了，要论日本三朝幕府，足利的室町幕府真是得位最正的，完全没毛病。
足利取得大权后，延续了源赖朝建立的制度，又当了征夷大将军，开了幕府。
至于信长能不能当征夷大将军，其实不重要，征夷大将军只是职位而已，他只要有血统（干亲都算）资格取得平氏栋梁的身份，继而再以平氏栋梁的身份获得武家栋梁的身份，那他爱给自己封什么大将军，就是什么大将军了，只要这个职位有开府的资格即可。所以猴子苦啊，平民一个，不是御家人出身，没有源平两家的血统，想继承个足以开府的身份，偏偏足利义昭不买账。
可有一点猴子是吃了没文化的亏喽，以家门来说，斯波氏的尾张足利氏和吉良氏的三河足利氏是仅次于足利氏中几乎和嫡流齐平的家门，尤其是斯波氏，末代已经被信长流放了，猴子出身就在尾张，别说找个斯波氏的女儿娶了再继承斯波氏家门了，认了斯波氏为自己祖先谁也对他没奈何，只需发小前田利家给他站站台圆圆谎就行了，保证德川家康拿他没辙，可有了将军开幕府的名分，德川家康的上位可就没那么容易了。猴子吃亏和平清盛一样，得到了文官的大位，却丧失了统领武家的正统地位，没学过毛选啊……
至于德川家康，这家伙纯粹是不要脸，这亲戚认得真没谁了，烦他，不说了。
呼，总算说完了，不知道我把你的问题说清楚了没有，总之，仅仅能力上足够，不足以支撑日本的天下人建立稳定政权，例子就是平清盛和猴子，想要建立稳定政权，就需要两个必要条件：第一，有能成为武家栋梁的血脉或继承这个血脉的家门；第二，有足够高的能够开府的武阶官职。所以，并不一定非要是源氏，做过武家栋梁的平氏家门也可以的。足利氏，斯波氏，吉良氏，后北条氏都有资格的。