因为不知道你是哪里人，也不知道你姓什么，所以为你找起家族来比较难，不过因为我就是即墨人，所以我就试着来回答吧。
首先来说，古时的即墨县很大，不是指现在的即墨市这么一点的地方，现青岛市域内的大部分地方都属于即墨县，不过我查看了青岛市地图，没有季科这个地名，我觉得很可能是这两个地方：
一是金口镇。我想可能是过去因为不通行普通话，也没有标准汉字规范，金口镇被误传成了季科镇。而且你说的几百年前应该是清朝时期，当时的金口是一个大港，只是后来河道淤塞，金口的辉煌才告一段落。当时即墨最大的地主李秉和就是金口人，在金口靠做生意发了财，这也可见当时金口做为一个商埠是很繁华的，那么人口的迁移也不足为奇，所以我觉得你的祖上很有可能是居住在金口。
二是棘洪滩镇，现在属于青岛市城阳区，棘和季发音相同，有可能你说的季科就是这儿，不过这个可能性不大，仅为参考罢了。
金口镇姓李、姓孙、姓华、姓刘都是很多的，棘洪滩就不知道了。