V=顶点 F=面 E=棱

证明思路一：逐步减少多面体的棱数，分析V＋F－E．

先以简单的四面体ABCD为例加以说明．

1、去掉一个面，再将它压缩为平面图形．四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变．因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V＋F1－E＝1．

2、将所得的平面图形外围的线段逐一去掉．每去掉一条线段，就减少一个面，V＋F1－E不变．依次去掉所有的外围线段，变为“树枝形”．

3、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，直至只剩一条线段．每去掉一条线段，就减少一个顶点，V＋F1－E不变，最后只剩下一条线段，此时V＋F1－E＝2＋0－1＝1．

4、以上过程V＋F1－E不变，V＋F1－E＝1．所以加上去掉的一个面，V＋F－E ＝2．

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段．因此公式对任意简单多面体都是正确的．

证明思路二：计算多面体各面内角和．

设多面体顶点数V，面数F，棱数E．剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和∑α．

一方面，在原图中利用各面求内角总和．

设有F个面，各面的边数为n1，n2，…，nF，各面内角总和为：

∑α ＝[(n1－2)·1800＋(n2－2)·1800 ＋…＋(nF－2) ·1800〕

＝(n1＋n2＋…＋nF－2F) ·1800

＝(2E－2F) ·1800

＝（E－F）·3600 （1）

另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和．

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n－2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V－n个顶点在中间．中间V－n个顶点处的内角和为(V－n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n－2)·1800．

所以，多面体各面的内角总和：

∑α ＝（V－n）·3600＋（n－2）·1800＋（n－2）·1800

＝（V－2）·3600 （2）

由（1）（2）得：（E－F）·3600 ＝（V－2）·3600

所以 V＋F－E＝2．

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

方法1：（利用几何画板）

逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2：计算多面体各面内角和

设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α

一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800

=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）

另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

所以，多面体各面的内角总和：

∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800

=（V-2）·3600 （2）

由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600

所以 V+F-E=2

一般分别为发散合成法、收敛合成法、发散收敛结合法。 发散合成是从所需的树状大分子的中心点开始向外扩展来进行合成反应的。从中心核开始,该中心核拥有一个或多个反应点,然后用带有分支结构的单元与中心核反应,即得到了第一代分子。将第一代分子分支末端的官能团转化为可继续进行反应的官能团,然后重复与分支单元反应物进行反应则得到第二代分子。不断重复以上的两个步骤,就可以得到期望的树状大分子。

优点是化合物增长过程中反应点逐渐增多，可以合成较高的代数;　缺点是末端官能团反应不完全将会导致下一级产物产生缺陷，而且随着分子的增大这种现象出现的机会也就越大。

收敛法是由树枝形聚合物的外围逐步向内合成的方法。反应是由将要生成树枝形聚合物最外层结构的部分开始，然后与分支单元反应物反应得到第一代分子；之后将基团活化后再与分支单元反应物继续反应得到第二代分子。如此不断地重复将基团活化，并与分支单元反应物进行连接,就可合成出更高代数的树枝形聚合物。

与发散合成相比，其优点为：收敛合成涉及的每步增长过程中反应官能团数目要少一些，使每一步反应总是限制在有限的几个活性中心进行，避免了采用大为过量的试剂，并降低了由于反应不完全产生“疵点”的几率，产物的结构也更加精致，同时纯化和表征也容易。

缺点为：对立体位阻比较敏感，随着树状大分子的增长，反应官能团活性减小，反应产率也会下降，且合成的高分子没有发散法合成的大。

发散收敛结合法是先用发散法制备出低代数的树状分子,作为活性中心,再用收敛法制得一定代数的扇形分子,称为“支化单体”,然后再将“支化单体”接到活性中心上就可合成出树状大分子。　发散收敛结合法综合了发散法和收敛法的优点，既能使合成产率提高，分子量增长加快，又能使分离纯化变得简单，减少分子结构缺陷。

1Dendrimers are repeatedly branched molecules The huge number of papers on dendritic architectures such as dendrimers, dendronized, hyperbranched and brush-polymers has generated a vast variety of inconsistent terms and definitions making a clear and concise unfolding of this topic highly difficult The purpose of this section is to provide the vocabulary required for the description of chemical and physical phenomena as well as application aspects associated with the research in the area of dendritic molecules

Dendritic molecules are repeatedly branched species that are characterized by their structure perfection The latter is based on the evaluation of both symmetry and polydispersity The area of dendritic molecules can roughly be divided into the low-molecular weight and the high-molecular weight species The first category includes dendrimers and dendrons whereas the second encompasses dendronized polymers, hyperbranched polymers, and brush-polymers (also called bottle-brushes)

The name comes from the Greek δενδρον/dendron, meaning tree Synonymous terms are arborols and cascade-molecules Dendrimer is an internationally accepted term Dendrimers and dendrons are repeatedly branched, monodisperse, and usually highly symmetric compounds There is no apparent difference in defining dendrimer and dendron A dendron usually contains a single chemically addressable group that is called the focal point Because of the lack of the molar mass distribution high-molar-mass dendrimers and dendrons are macromolecules but not polymers

The first dendrimers were synthesized divergently by Vögtle in 1978[1], by Denkewalter and coworkers at Allied Corporation as polylysine dendrimers in 1981[2], by Tomalia at Dow Chemical in 1983[3] and in 1985[4], and by Newkome in 1985[5] In 1990 a convergent synthesis was introduced by Mingjun Liu[6] Dendrimers then experienced an explosion of scientific interest because of their unique molecular architecture (Fig 1) This resulted in over 5,000 scientific papers and patents published by the end of 2005

2“dendrimer”这个词来自希腊的“dendros”，意思是树和枝，树上的分枝长到一定长度后又分成两个分枝，如此重复进行，直到长得如此稠密以致于长成象球形一样的树丛。在dendrimer中，分枝是内部连结的高分子聚合键，每一个键又会产生新键，全部会向一个焦点聚合或向一个核聚合。

在dendrimer上形成大量键端球形突起物，象毛线球上的绒毛。在合成过程中，能设计这些键端去执行特殊的化学功能，例如，键端可带电，其目的是完全发挥dendrimer的高分子电解质的功能。另一个特点，在合成过程中，也能控制dendrimer外部尺寸和内部的构。这使得有可能创造与外部不同性质的内腔和通道，并打开dendrimer作为载体或作为受邀分子晶核的大门。在这一能力中，dendrimer除了为纳米技术建造纳米块外，还起催化作用。

“萧”与“肖”都是很古老的姓，春秋时两姓就已并行。但二者不同的是，“萧”姓两千多年来一直在使用，而“肖”姓在汉代以后却难寻踪迹，这从各时代的姓谱中可以得到证明。（可以说，现在全中国内所有姓“肖”者中有99999999均系原来姓“萧”者。）

半个世纪前，“萧”姓很多，“肖”姓则罕见。《第一批异体字整理表》和《汉字简化方案》颁布以后，很多人认为“萧”是“肖”的异体字，或认为“肖”是“萧”的简化字。于是不少“萧”姓者为书写简便，把“萧”写作“肖”；一些部门的工作人员在为“萧”姓者办理身份证、户口登记、入学手续时，也常将“萧”写作“肖”。因此，近几十年来，“肖”姓多了起来（不排除部分人原本姓“肖”），甚至大有取代“萧”姓的趋势。

工具书注释中的问题，是“萧”、“肖”二姓使用混乱的另一个重要原因。《辞源》、《辞海》等工具书，在注“萧”时有“姓”这一义项，而注“肖”时并无“姓”的义项。这是沿袭了一些老工具书的注法。《新华字典》、《现代汉语词典》在“肖（xiāo）”的字头下，均注作“姓，’萧’俗作’肖’”。这是把作姓氏用的“肖”当作“萧”姓之“萧”的俗体字了。《汉语大字典》注“肖”时说，“姓，也作’萧’”，1962年版的《新华字典》注“肖（xiāo）”时说，“姓，同’萧’”。这都是把“肖”、“萧”看作异体的关系了。无论是把“肖”看作俗体，还是把“肖”、“萧”看作异体，实际上都是把“萧”和“肖”当成一个姓，注音均为阴平的xiāo。《现代汉语规范字典》独树一帜，它把“肖”注成只读xiào的单音字，字头下的第二个义项就是“姓”。这样处理，“肖”与“萧”就完全脱钩，“肖”已成为独立于“萧”姓之处的另一个姓，如果这样，它的读音将变成了去声的xiào，从而成了另外的姓氏了。从国家有关部门颁布的语言文字的规定看，“萧”与“肖”既非异体关系，又非繁简关系。而民间认为“’肖’也作’萧’”、“’肖’同’萧’”等说法，是不是不可取呢？“’萧’俗作’肖’”的说法如何呢？因为“肖”实质上不是“萧”的简化字，二者又非异体关系，所以一些工具书的编者就把“肖”看作“萧”的俗体字——即引为通用 。实际上“某俗作某”是一种很模糊的说法。

但未受到建国后的一场文字改革冲击的全球其他地方，如香港，台湾，东南亚等，所有的萧家人都是姓“萧”的，没有一个人写姓“肖”。

一个人的名字是自已的，但是一个人的姓氏却是祖宗传下来的，中国人最讲究传统了。古人云“行不改名，坐不改姓”毕竟，“肖”姓毕竟是不规范的姓，不是所有萧家人的姓啊，萧何祖宗泉下有知，也不会瞑目的。近年来，随着改革开放后，全国已有越来越多的姓“肖”者改回姓“萧”。也算是氏族上的统一。

由于时间已过数十年了，有些年轻的姓“肖”者可能并不知自已原系萧家人（从身份证看，其爷其父等，均也已写姓“肖”），以轻易否认自已是萧姓人，其实， 这些人可以从几个方面进行考证：

1，如宗祠，不管建国后萧姓如何被改，但建在各地萧姓聚集地的萧家宗祠上的“萧”字是不会改的。

2，问长辈，特别是一些上了60岁以上年纪的长辈，他们在小时候，在年轻时一定用过姓萧。

3，祖坟，祖上的坟墓上刻的字一定是萧字。等等。

但不管考证如何，有一点是可以肯定的，现在的全中国，写姓肖者中，有9999999999都是原来的姓萧者，这一点是无可置疑的。

树枝形状和叶子或花朵。

1、树枝形状：金属制成的树枝形状装饰，可以是各种大小和形态的树枝，仿真度高，表现出树枝的细节和质感。

2、叶子或花朵：金属制成的叶子或花朵装饰，可以附着在树枝上，增添自然和生机的感觉。

三年级上册枝形图叫树枝形状图。从字面意思上来看就是和树木的枝叶非常相似，即一个问题通过树枝状的横线和方框衍生出若干个问题，非常方便学生进行记忆和理解，趣味性也非常高，能够激发孩子的学习积极性。